MATEMATICAS: 2015

Raíz cuadrada - Wikipedia, la enciclopedia libre

RAIZ CUADRADA.

En matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número positivo a un segundo número positivo que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, es decir, que es un segundo número que al elevarlo al cuadrado es igual al primero. Abreviado como raíz tiene el símbolo: $\sqrt{\ }$ . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ¹/₂.

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas.

Función raíz cuadrada[editar]

La gráfica de la función $f(x) = + \sqrt x$ es una semiparábola con directriz vertical.

La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo yque elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras:

$y = \sqrt x,\qquad y = x^{\frac{1}{2}}$

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12$

ya que:

$16 = 4\times 4 = 4^2, \quad 64 = 8\times 8 = 8^2, \quad 144 = 12\times 12 = 12^2$

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

Propiedades generales[editar]

Gráfica de la ecuación: $y^2 = x$

La función raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{x}$ es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto $\left[0,\infty\right)$ (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionalesen números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de unnúmero natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).
Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x^2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de $x^2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}$

y es válida para todos los números no negativos $x$ e $y$ que no sean ambos cero.

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x=0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x=0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

*$\sqrt{x+1}\,\!$*	*$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$*
	*$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$*
*converge para $\left\| x \right\| < 1$ .*

Irracionalidad de las raíces cuadradas[editar]

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversosexponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si $\sqrt n$ fuera racional se debería poder expresar como $\frac{p}{q}$ con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que $n = \frac{p^2}{q^2}$ , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto $p^2$ como $q^2$ se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.

Radicales jerarquizados cuadrados[editar]

Artículo principal: Radical jerarquizado

En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma

$\sqrt{A + \sqrt{B}}$

que en algunos casos puede ser escritos en la forma

$\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$

lo que es factible si sólo si x + y = A, xy = B .⁷ ⁸ Las expresiones anteriores se denominan radicales jerarquizados.

La identidad $2=\sqrt{2+2}$ implica que $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$ , y por repeticiones sucesivas:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Por razones análogas se obtiene:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ;

o que

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ;

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.⁹

Fracciones continuas[editar]

Artículo principal: Fracción continua

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido porJoseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

$\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,$

Aproximaciones enteras[editar]

Las primeras dadas por:

CUADRADO	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	15	16	17	...	24	25	26	27
RAÍZ	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5

Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente:

El cero es repetido una vez.
El 1 tres veces.
El 2 cinco veces
El 3 siete veces.
El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente:

$(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,$

Extensión de la función raíz cuadrada[editar]

La raíz cuadrada en los números complejos[editar]

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera $\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = \pm i\sqrt{x}$ El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de cualquier número real negativo (e incluso de cualquier número complejo). Los números complejos pueden construirse definiendo un nuevo número abstracto, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que satisface que $i^2 = -1\,\!$ . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos $(-i)^2= i^2 = -1\,\!$ , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. En general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

$\sqrt{\pm ix} = \sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}$

Por los argumentos dados, $i$ no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo $z$ , no podemos definir $\sqrt z$ para ser la raíz cuadrada “positiva” de $Z$ .

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que $w^2 = Z\,\!$ . Por ejemplo, las raíces cuadradas de $i$ son:

$\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

$- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

La definición general de $\sqrt z$ está introduciendo el siguiente punto de rama: siz = r��e^iφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

$\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}$

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para $\sqrt{1+x}$ sigue siendo válida para el resto de los números complejos xcon |x| < 1.

Ahora bien, sea un número complejo;

$z = \sqrt{x + iy}$

de este modo podemos expresar lo siguiente;

$z = z_{re} + iz_{im} \;$

elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación;

$x + iy = z_{re}^2 - z_{im}^2 + i2z_{im}z_{re}$

de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto;

$z_{re}^2 - z_{im}^2 = x \;$
$2z_{im}z_{re} = y \;$

en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas fórmulas se obtiene:

$\sqrt{x+iy} = \pm \left( \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} + i\ \sgn(y)\ \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}} \right).$

donde $\left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2}$ (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando (ver función signo (sgn)). Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley $\sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w$ es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de variasdemostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que $-1 = 1\,\!$ :